김선생 수학 컬럼

김선생 수학 - 고난도 문제에 적용되는 알제브라의 중요성

컬럼
작성자
김선생
작성일
10/02/18 21:34
조회수
1457
수학에서 가장 중요한 것이 연산(알제브라, Algebra) 실력입니다.
수학C에 나오는 좀 어려운 문제를 철저히 분석해서 연산의 중요성을 살펴보겠습니다.

[문제] 아침 10시에 용광로를 작동시켰다. 용광로의 온도가 올라가도록 일정한 량의 열이
공급된다. 또한 용광로가 가열되면서 용광로 온도와 주변 공기의 온도차이에 비례하는 만큼의
열이 용광로에서 빠져나간다. 아침 10시 용광로는 주변 온도와 같은 20도였다. 10시반에
용광로의 온도는 180 도였고 11시에는 온도가 400도가 되었다. 용광로의 온도가 750 도가
넘어야 용광로가 작동하기 시작한다. 미분방정식을 이용하여 용광로가 작동되는 시간을 구하라
또한 용광로가 가질 수 있는 최대온도를 구하라.

위 문제를 한글로 읽기만해도 머리가 아픕니다. 그런데 동일한 표현을 해도 영어가 한글보다
더 길므로 영어문제 지문은 매우 깁니다. 따라서 이런 긴 지문의 수학 문제는 학생들은
당황하게 만들어 문제풀려는 마음을 빼앗아 가버리기 십상입니다. 소위 최고난도의 문제입니다.

위 문제를 구체적으로 분석해 보겠습니다.

1. 용광로에 공급되는 열을 상수 H 로 놓는다 (9학년 개념)
2. 용광로가 주변에 공기에 빼앗기는 열이 온도차이므로 T – 20 으로 놓는다 (6학년)
3. 온도 변화가 온도차가 비례하므로 비례상수를 k 로 한다 (9, 10학년 개념)
4. 시간에 따른 온도 변화율로 미분방정식을 만든다 ( 11, 12학년 개념 )
5. 미분 방정식을 적분하여 함수식을 만든다 ( 12학년 개념 )
6. 그 함수식에 시간과 온도를 대입하여 세개의 방정식을 만든다 ( 10 학년 알제브라 )
( 시간 0 , 온도 20도 ), (시간 30분, 온도 180도 ) , ( 시간 60분, 온도 400도 )
7. 로그 방정식을 연립하여 풀어서 세개의 미지수를 구한다 ( 10학년 알제브라 )
8. 미지수를 대입하여 로그 방정식과 지수 방정식을 풀어 온도식을 만든다. ( 11학년 알제브라)
9. 온도식에 주어진 데이터를 대입하여 물음에 답한다. ( 10, 11, 12학년 알제브라 )
10. 무한대의 마이너스 지수는 0 값을 가진다 ( 11학년 개념 )

크게 단계를 나누어도 10단계가 되고 여러가지 개념이 요구됩니다. 세부적인 계산은
30 - 40줄 가까우며 정확한 계산실력(알제브라)이 요구됩니다. 많은 단계에서 방정식을
풀어야 하는데 그 때 필수적인 것이 계산력(알제브라)입니다. 개념을 잘 이해해서 아무리 식을
잘 만들어도 계산을 할 줄 모르면 한 발자국도 나아가지 못합니다. 수학 문제 풀 때 계산력이
차지하는 비중이 60 -70 퍼센트 이상입니다. 결국 6 ~10 학년 사이에 형성되는 계산력
(알제브라 )이 수학능력의 거의 전부라고 할 수 있습니다. 10 학년 까지 형성된 계산력으로
11, 12 학년 수학을 요리해 나가는 것입니다. 11, 12 학년때 배우는 수학 개념이란 것도 그렇게
어려운 것이 아닙니다. 11, 12 학년때 수학 개념이 어려워서 수학을 못하는 것이 아니라
알제브라가 약해서 수학을 못하는 것입니다. 10학년까지 알제브라 실력을 완벽하게
다져놓아야 그 이후에 배우는 수학을 아무 문제없이 잘 할 수 있습니다.

알제브라 실력을 높이려면 반복해서 끊임없이 미지수가 들어간 문제들을 풀어야만 합니다.
결국 부지런한 학생들이 수학을 잘하는 것입니다. 머리보다 노력입니다. 지독하게 풀고 또
푸는 학생만이 높은 성적을 얻을 수 있습니다. 학생 여러분 온 힘 다해 열심히 하세요. 화이팅….
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